Question

某小饮料厂生产甲、乙两种饮料，每种饮料的成本和利润率如表所示．若两种饮料每天共生产500瓶，需投入总成本y元．设每天生产甲种饮料x瓶．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）如果该厂每天投入的总成本不超过1800元，则至少要安排生产甲种饮料多少瓶？
（3）若该厂希望每天的利润率不低于25%，且使投入的总成本最低，应如何安排生产？此时最低成本为多少元？

Answer

（1）由两种饮料每天共生产500瓶，每天生产甲种饮料x瓶，即可得每天生产乙种饮料（500-x）瓶，然后根据题意即可得y与x之间的函数关系式为y=3x+5（500-x），化简即可求得答案；
（2）由该厂每天投入的总成本不超过1800元，可得不等式-2x+2500≤1800，解此不等式即可求得答案；
（3）根据题意即可得不等式：3x×20%+5（500-x）×37%≥（-2x+2500）×25%，解此不等式即可得到x的取值范围，又由（1）中一次函数的增减性问题，即可求得答案．
【解析】
（1）∵两种饮料每天共生产500瓶，每天生产甲种饮料x瓶，
∴每天生产乙种饮料（500-x）瓶，
根据题意得：y=3x+5（500-x）=-2x+2500；
∴y与x之间的函数关系式为y=-2x+2500；

（2）∵该厂每天投入的总成本不超过1800元，
∴-2x+2500≤1800，
∴x≥350，
∴少要安排生产甲种饮料350瓶；

（3）根据题意得：3x×20%+5（500-x）×37%≥（-2x+2500）×25%，
解得：x≤400，
由（1）投入的总成本为y=-2x+2500，
∵k=-2＜0，
∴y随x增大而减小，
∴当x=400时，y最小，y=-2×400+2500=1700，
∴每天生产甲种饮料400瓶，每天生产乙种饮料100瓶时，总成本最低，此时最低成本为1700元．