Question

如图，A是半径为6cm的⊙O上的定点，动点P从A出发，以πcm/s的速度沿圆周按顺时针方向运动，当点P回到A时立即停止运动．设点P运动时间为t（s）
（1）当t=6s时，∠POA的度数是______；
（2）当t为多少时，∠POA=120°；
（3）如果点B是OA延长线上的一点，且AB=AO，问t为多少时，△POB为直角三角形？请说明理由．

Answer

（1）先根据路程=速度×时间得出当t=6s时，点P运动的路程即的长度，再根据弧长公式即可求出∠POA的度数；
（2）当∠POA=120°时，点P运动的路程为⊙O周长的或，所以分两种情况进行分析；
（3）△POB为直角三角形时，由于动点P沿圆周运动，所以以B为顶点的角不可能为直角，那么分∠POB=90°，∠OPB=90°两种情况进行分析．
【解析】
（1）设∠POA=n°，则
=6π=，
∴n=180．
即∠POA的度数是180．
故答案为180；

（2）当∠POA=120°时，如图，点P运动的路程为⊙O周长的（图中P1处）或（图中P2处），
设点P运动的时间为ts．
当点P运动的路程为⊙O周长的时，π•t=•2π•6，
解得t=4；
当点P运动的路程为⊙O周长的时，π•t=•2π•6，
解得t=8；
∴当点P运动的时间t为4s或8s时，∠POA=120°；

（3）分两种情况：
①当∠POB=90°时，如图，点P运动的路程为⊙O周长的（图中P1处）或（图中P2处），
设点P运动的时间为ts．
当点P运动的路程为⊙O周长的时，π•t=•2π•6，
解得t=3；
当点P运动的路程为⊙O周长的时，π•t=•2π•6，
解得t=9．
∴当点P运动的时间为3s或9s时，△POB为直角三角形；
②当∠OPB=90°时，如图，（图中P3处）或（图中P4处），
设点P运动的时间为ts．
当点P运动P3处时，连接AP3．
∵∠OP3B=90°，OA=AB，
∴AP3=OA=OP3，
∴△OAP3是等边三角形，
∴∠AOP3=60°，
∴π•t=•2π•6，
解得t=2；
当点P运动P4处时，连接AP4．
∵∠OP4B=90°，OA=AB，
∴AP4=OA=OP4，
∴△OAP4是等边三角形，
∴∠AOP4=60°，
∴π•t=（1-）•2π•6，
解得t=10．
∴当点P运动的时间为2s或10s时，△POB为直角三角形．
综上可知，当点P运动的时间为2s或3s或9s或10s时，△POB为直角三角形．