Question

如图1，等腰直角△ABC的顶点A，B的坐标分别为（0，10），（8，4），顶点C在第一象限．点P从点A出发，沿△ABC的边按逆时针方向匀速运动，同时，点O从点E（4，0）出发，沿x轴正方向以相同速度运动．当点P到达点C时．P、Q两点同时停止运动，设运动的时间为t秒，
（1）求AB边的长及点C的坐标．
（2）当点P在AB边上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图2所示），求P、Q两点的运动速度．
（3）求（2）中面积S（平方单位）与时间t（秒）的函数关系式及面积S取最大值时点P的坐标．
（4）若点P、Q保持原速度不变，当点P沿着A→B→C匀速运动时，是否存在某时刻t（秒）．使得OP=PQ，如果存在，请求出符合条件的t的值，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）过点B作BM⊥y轴于点M，过点C作CN⊥MB的延长线于点N，由条件可以得出△AMB≌△BNC，根据A、B的坐标可以求出AM、BM的值，可以求出C的坐标，由勾股定理可以求出AB的值．
（2）由图2可知，点P从A运动到B用了10秒，由行程问题的数量关系可以求出P、Q的运动速度．
（3）作PG⊥y轴于G，BF⊥y轴于F，如图则PG∥BF，△AGP∽△AFB，利用相似三角形对应线段成比例表示出三角形POQ的高，根据三角形的面积公式就可以求出（2）中面积S（平方单位）与时间t（秒）的函数关系式．然后转化为顶点式就可以求出最值了．
（4）当P在AB 上时，若OP=PQ，如图则作PH⊥x轴，有△AGP∽△AFB；当P在 BC上时，若OP=PQ过P作PH⊥x轴，过B作BF⊥y轴于F，交PH于M．有△PBM∽△BAF，有相似三角形的性质就可以求出点P的坐标．
【解析】
（1）过点B作BM⊥y轴于点M，过点C作CN⊥MB的延长线于点N，
∴∠AMB=∠CNB=90°
∵点A，B的坐标分别为（0，10），（8，4），
∴MB=8，MO=4，AO=10，
∴AM=6，在Rt△AMB中，由勾股定理，得
AB=10
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴△AMB≌△BNC，
∴BN=AM=6，CN=BM=8，
∴MN=14，CN=8
∴C（14，12）

（2）由图2可知，点P从A运动到B用了10秒
∵AB=10，10÷10=1，
∴P，Q两点运动速度均为每秒1个单位．
（3）作PG⊥y轴于G，BF⊥y轴于F，如图则PG∥BF，
∴△AGP∽△AFB，
∴，
∴GA=t，
∴OG=10-t，
∵OQ=4+t，
∴S=OQ×OG=（4+t）（ 10-t）
即S=-
S=-（t2-t）+20
S=-（t-）2+
∴当t=时，S有最大值，此时，GP=，OG=10-t=
∴P（）  
（4）当P在AB 上时，若OP=PQ如图则作PH⊥x轴，
于是OH=OQ=．
∵△AGP∽△AFB
∴，OH=
∴=，t=
当P在 BC上时，若OP=PQ
过P作PH⊥x轴，过B作BF⊥y轴于F，交PH于M．
∵△PBM∽△BAF，OH=OQ=，PB=t-10，BA=10，AF=6，
∴，BM=（t-10），
∴8+（t-10）=，t=0（舍去），
∴综上所述：当t=时，OP=PQ