Question

课题：两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一个顶点旋转所形成的有关问题．
实验与论证
设旋转角∠A₁AB₁=α（α＜∠A₁AB₁），θ₁，θ₂，θ₃，θ₄，θ₅，θ₆所表示的角如图所示．

（1）用含α的式子表示：θ₃=______，θ₄=______，θ₅=______；θ₆=______，
（2）图1中，连接AH时，在不添加其他辅助线的情况下，直线AH是否垂直平分线段A₂B₁？
答：______；请说明你的理由；
归纳与猜想
设正n边形AA₁A₂…A_n-1与正n边形AB₁B₂…B_n-1重合（其中，A₁与B₁重合），现将正n边形AB₁B₂…B_n-1绕顶点A逆时针旋转α（）．
（3）设θ_n与上述“θ₃，θ₄，…”的意义一样，请直接写出θ_n的度数．

Answer

（1）由正三角形的性质得α+θ3=60°，再由正方形的性质得θ4=45°-（45°-α）=α，最后由正五边形的性质得θ5=108°-36°-36°-α=36°-α；
（2）存在，如在图1中直线AH垂直且平分的线段A2B1，由于△AA1A2与△AB1B2是全等的等边三角形，推得A2H=B1H，则点H在线段A2B1的垂直平分线上；由AA2=AB1，则点A0在线段A2B1的垂直平分线上，从而得出直线AH垂直且平分的线段A2B1
（3）规律：当n为奇数时，θn=-α；当n为偶数时，θn=α．
【解析】
（1）60°-α，α，36°-α．α；

（2）是                    
图1中直线AH垂直平分A2B1，证明如下：
证明：∵△AA1A2与△BB1B2是全等的等边三角形，
∴AA2=AB1，
∴∠AA2B1=∠AB1A2．
又∵△AA1A2与△AB1B2是等边三角形，
∴∠AA2H=∠AB1H=60°．
∴∠HA2B1=∠HB1A2．
∴A2H=B1H．
∴点H在线段A2B1的垂直平分线上．
又∵AA2=AB1，
∴点A在线段A2B1的垂直平分线上．
∴直线AH垂直平分A2B1． 

（3）当n为奇数时，；   
当n为偶数时，θn=α．