Question

如图，AB为⊙O的直径，D为弦BC的中心，连接OD并延长交过点C的切线于点P，连接AC．求证：△CPD∽△ABC．

Answer

连接OC．则∠OCP=90°，再由AB是⊙O的直径，得AC⊥CD．根据D为弦BC的中心，则OP⊥BC，再由弦切角定理得出∠PCD=∠A，从的得出结论．
证明：连接OC．
∵PC是⊙O的切线，点C为切点，
∴∠OCP=90°．（2分）
∵AB是⊙O的直径，
∴AC⊥CD．
又点D为弦BC的中点，
∴OP⊥CD．（3分）
∴∠P+∠POC=90°，
∠OCD+∠POC=90°．
∴∠P=∠OCD．（5分）
∵OC=OB，
∴∠OCD=∠B．
∴∠P=∠B．（7分）
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．（8分）
∴∠CDP=∠ACB=90°．
∴△CDP∽△ABC．（10分）