Question

平面直角坐标中，对称轴平行于y轴的抛物线经过原点O，其顶点坐标为（3，-）；Rt△ABC的直角边BC在x轴上，直角顶点C的坐标为（，0），且BC=5，AC=3（如图（1））．
（1）求出该抛物线的解析式；
（2）将Rt△ABC沿x轴向右平移，当点A落在（1）中所求抛物线上时Rt△ABC停止移动．D（0，4）为y轴上一点，设点B的横坐标为m，△DAB的面积为s．
①分别求出点B位于原点左侧、右侧（含原点O）时，s与m之间的函数关系式，并写出相应自变量m的取值范围（可在图（1）、图（2）中画出探求）；
②当点B位于原点左侧时，是否存在实数m，使得△DAB为直角三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据抛物线顶点坐标为（3，-），利用顶点式求出即可；
（2）根据当点B位于原点左侧时以及当点B位于原点右侧（含原点O）时，分别分析即可得出答案．
【解析】
（1）由题意，设所求抛物线为
y=a（x-3）2-．①
将点（0，0）代入①，得a=．
∴y=x2-3x．

（2）①当点B位于原点左侧时，如图（1）：
S=S△OBD+S梯形OCAD-S△ABC，
=•4•（-m）+（4+3）（5+m）-，
=m+10．
∴S=m+10．（-4.5≤m＜0），
当点B位于原点右侧（含原点O）时，如图（2）：
S=S梯形OCAD-S△OBD-S△ABC，
=（4+3）（5+m）-•4•m-，
=m+10．
∴S=m+10．（0≤m＜-2），
②m1=-1，m2=-4，m3=-4.4．