Question

如图，过点P（2，）作x轴的平行线交y轴于点A，交双曲线（x＞0）于点M，连接AN=6．
（1）求k的值；
（2）求直线MN的函数解析式；
（3）试判断△AMN的形状？并说明理由．

Answer

（1）由AN与x轴平行，得出P的纵坐标与N的总坐标相等，从而由P的纵坐标得到N的纵坐标，又AN=6，得到N的横坐标，由N在反比例图象上，N的横纵坐标乘积即为k的值；
（2）由MP与y轴平行，根据P的横坐标得到M的横坐标，把M横坐标代入反比例解析式求出的函数值即为M的纵坐标，从而确定出M的坐标，设出直线MN的方程为y=mx+b，把M和N的坐标代入列出关于m与b的二元一次方程组，求出方程组的解即可得到m与b的值，确定出直线MN的解析式；
（3）三角形AMN为直角三角形，理由为：在直角三角形AMP中，根据M的纵坐标减去P的纵坐标求出MP的长，再由AP和MP的长，利用勾股定理求出AM2，在直角三角形PMN中，由N的横坐标减去P的横坐标得出PN的长，再由PM的长，利用勾股定理求出MN2，最后由AN求出AN2，发现AM2+MN2=AN2，利用勾股定理的逆定理可得出三角形AMN为直角三角形．
【解析】
（1）∵P（2，），AN∥x轴，
∴N的纵坐标为，（1分）
∵AN=6，
∴N的横坐标为6，
∴N（6，），（2分）
∴k=xy=6；（3分）

（2）∵P（2，），PM⊥AN，
∴M的横坐标为2，（4分）
∴纵坐标y===3，即M（2，3），
设直线MN的一次函数解析式为y=mx+b，则有：
，
解得：，（5分）
∴直线MN的函数解析式为y=-x+4；（6分）

（3）△AMN为直角三角形，理由如下：
∵P（2，），M（2，3），N（6，），
∴PA=2，PM=3-=2，PN=6-2=4，
在Rt△AMP中，根据勾股定理得：AM2=PA2+PM2=12，（7分）
在Rt△PMN中，MN2=PN2+PM2=24，（8分）
又∵AN=6，即AN2=36，
∴AM2+MN2=12+24=36=AN2，（9分）
∴△AMN为直角三角形．（10分）