Question

为了求1+2+2²+…+2²⁰⁰⁹的值，可令S=1+2+2²+…+2²⁰⁰⁹，则2S=2+2²+…+2²⁰¹⁰，因此2S-S=2²⁰¹⁰-1，所以1+2+2²+…+2²⁰⁰⁹=2²⁰¹⁰-1，仿照以上推理计算出1+3^-1+3^-2+…+3^-2009的值是    ．

Answer

仔细阅读题目中示例，找出其中规律，运用到本题中，先设S=1+3-1+3-2+…+3-2009，从而求出3S的值，然后用3S-S，错位相减即可求解本题．
【解析】
根据题中的规律，设S=1+3-1+3-2+…+3-2009，
则3S=3+1+3-1+3-2+…+3-2008，
所以3S-S=（3+1+3-1+3-2+…+3-2008）-（1+3-1+3-2+…+3-2009）
即2S=3-3-2009，
所以S=．
故答案为．