Question

如图所示，一位同学拿了两块45°的三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动；将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC=BC=a．
猜想此时重叠部分四边形CEMF的面积为    ；
简述证明主要思路．

Answer

连CM，由点M为等腰直角△ABC的斜边AB的中点，根据等腰直角三角形和直角三角形斜边的中线的性质得到CM=MB=MA，∠A=∠ACM=∠MCB=45°，∠CMA=90°，利用等角的余角相等得到∠AMF=∠EMC，根据“SAS”可得△AFM≌△CEM，则S△AFM=S△CEM，于是重叠部分四边形CEMF的面积=S△ACM=S△ACB，然后利用三角形的面积公式计算即可．
【解析】
重叠部分四边形CEMF的面积为a2．证明如下：
连CM，如图，
∵点M为等腰直角△ABC的斜边AB的中点，
∴CM=MB=MA，
∴∠A=∠ACM=∠MCB=45°，∠CMA=90°，
又∵△MNK为直角三角形，
∴∠EMF=90°，
∴∠AMF=∠EMC=90°-∠CMF，
在△AFM和△CEM中，

∴△AFM≌△CEM，
∴S△AFM=S△CEM，
∴重叠部分四边形CEMF的面积=S△ACM=S△ACB=××a×a=a2．
故答案为：a2．