Question

在图1-3中，四边形ABCD和CGEF都是正方形，M是AE的中点．

（1）如图1，点G在BC延长线上，求证：DM=MF；
（2）在图1的基础上，将正方形CGEF绕点C顺时针旋转到图2位置，此时点E在BC延长线上．求证：DM=MF；
（3）在图2的基础上，将正方形CGEF绕点C在任一旋转一个角度到如图3位置，此时DM和MF还相等吗？（不必说明理由）

Answer

（1）延长DM到N，证明△AMD≌△EMN，得到DM=MN，M为直角三角形DFN的斜边DN中点，得到2FM=DN，MF=MD；
（2）延长DM到N，使MN=MD，连接FD、FN、EN，延长EN与DC延长线交于点H．证明△DCF≌△NEF，即可得到线段MD，MF的位置及数量关系．
（3）旋转的过程中，△AMD≌△EMN仍然成立，故结论仍成立．
【解析】
（1）MD=MF
证明：延长DM交FE于N．
∵正方形ABCD、CGEF，
∴CF=EF，AD=DC，∠CFE=90°，AD∥FE，
∴∠MAD=∠NEM．
又∵MA=ME，∠AMD=∠NME，
∴△AMD≌△EMN，
∴DM=MN，
∴M为直角三角形DFN的中点，
∴2FM=DN
∴MF=MD．

（2）延长DM到N，
使MN=MD，连接FD、FN、EN，
延长EN与DC延长线交于点H．
∵MA=ME，∠AMD=∠EMN，MD=MN，
∴△AMD≌△EMN，
∴∠DAM=∠MEN，AD=NE．
又∵正方形ABCD、CGEF，
∴CF=EF，AD=DC，∠ADC=90°，
∠CFE=∠ADC=∠FEG=∠FCG=90°．
∴DC=NE．
∵∠DAM=∠MEN，
∴AD∥EH．
∴∠H=∠ADC=90°．
∵∠G=90°，∠HIC=∠GIE，
∴∠HCI=∠IEG．
∵∠HCI+∠DCF=∠IEG+∠FEN=90°，
∴∠DCF=∠FEN．
∵FC=FE，
∴△DCF≌△NEF，
∴FD=FN，∠DFC=∠NFE．
∵∠CFE=90°，
∴∠DFN=90°，
∴FM⊥MD，MF=MD．

（3）相等．