Question

如图，在矩形ABCD中，AB=12，AD=10．点Q从点D出发沿DA以每秒1个单位长度的速度向点A匀速运动；点P从点A出发沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B匀速运动．伴随P、Q的运动，直线EF保持垂直平分PQ于点F，交射线DC于点E．点P、Q同时出发，当点P到达B点时停止运动，点Q也随之停止．设点P运动时间为t秒（t＞0），△APQ的面积为S．
（1）求S和t之间的函数关系式；
（2）t为何值时，直线EF经过点A？
（3）t为何值时，EF∥AC？
（4）EF能平分矩形ABCD的面积吗？如果能，请求出此时t的值，如果不能，请说明理由．

Answer

（1）当时间为t时，DQ=t，则AQ=10-t，AP=2t，由三角形的面积公式就可以表示出S和t之间的函数关系式，
（2）当直线EF经过点A时，根据中垂线的性质建立等量关系，就可以求出其t值，
（3）根据条件由勾股定理可以求出PQ的值，利用△QGF∽△QPA可以求出GF的值，通过△QGF∽△ACB可以求出其t值．
（4）利用分得的两部的面积相等找到边相等，利用勾股定理表示出AG的值，由AG=PB建立等量关系求出其他值．
【解析】
（1）设点P运动时间为t秒（t＞0）时，
∴DQ=t，AP=2t，
∴AQ=10-t，
∴S==-t2+10t（6＞t＞0），

（2）当直线EF经过点A时，
∴AF是线段PQ的垂直平分线，
∴AQ=AP，
∴2t=10-t，
∴t=

（3）连接GP，
∵EF垂直平分PQ，
∴GP=GQ，设GQ=a，则GP=a，
∴GA=10-t-a，在Rt△APG中，由勾股定理得：
（2t）2+（10-t-a）2=a2，
∴a=，
在Rt△APQ中，由勾股定理，得
（10-t）2+（2t）2=PQ2，
∴PQ=
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AC=，
∵GE∥AC，
∴△QGF∽△QPA，△QGF∽△ACB，
∴，，
∴，
∴GF=
∴，
解得t1=，t2=（不符合题意，应舍去）

（4）如图，连接GQ，在Rt△AGQ中，设AG=b，GP=QG=2t-b，AQ=10-t，
由勾股定理，得（2t-b）2=b2+（10-t）2，
∴b==AG，
∵EF平分矩形的面积，
∴EF过矩形中心，即AG=EC，
又AD=BC，
∴S矩形ADHG=S矩形PECB，
又∵AD=PE，
∴AD•AG=PE•PB，
∴AG=PB，
∴=12-2t，解得：
t1=，t2=-2（不符合题意，应舍去）