Question

如图，已知A、B两点的坐标分别为（，0）、（0，4），P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP=45°，则点P的纵坐标为（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer

由P点在第一象限，∠AOP=45°，可设P（a，a）．过点C作CF∥OA，过点P作PE⊥OA于E交CF于F，用含a的代数式分别表示PF，CF，在△CFP中由勾股定理求出a的值，即可求得P点的坐标．
【解析】
∵OB=4，OA=4，
∴AB==8，
∵∠AOP=45°，
P点横纵坐标相等，可设P（a，a）．
∵∠AOB=90°，
∴AB是直径，
∴Rt△AOB外接圆的圆心为AB中点，设为点C，则C（2，2），
P点在圆上，P点到圆心的距离为圆的半径4．
过点C作CF∥OA，过点P作PE⊥OA于E交CF于F，
∴∠CFP=90°，
∴PF=a-2，CF=a-2，PC=4，
∴+（a-2）2=42，舍去不合适的根，
可得a=2+2，P（2+2，2+2）；
即P点坐标为（2+2，2+2）．
故选：D．