Question

如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，F是BC延长线上一点，DF平分CE于点G，CF=2，则BC=    ．△CFG与△BFD的面积之比为    ．

Answer

通过全等三角形△DEG和△FCG，可得出CF=DE=2；根据DE是△ABC的中位线，可求出DE：BC=1：2，即相似三角形△ADE和ABC的相似比为1：2；由此可求出BC的长．由于EG=GC=AE，而△ADE和△DEG等高，因此它们的面积比等于底边比，由此可求出△GED和△ADE的面积比，也就求出了△GED和四边形ECBD的面积比，由于△BDF的面积正好等于四边形BCED的面积，而△DEG和△GCF的面积相等，由此可求出△CFG和△BDF的面积比．
【解析】
∵D、E分别是AB和AC的中点
∴DE∥BC，DE=BC
∴△ADE∽△ABC，△GED≌△GCF
∴DE=CF=2
∴BC=2CF=4，
∵△ADE与△ABC的面积之比为1：4；
∴△ADE与四边形DECB的面积之比为1：3；
∵△ADE与△DEG的面积之比为2：1；
∴△CFG与△BFD的面积之比为1：6．
故答案为：4，1：6．