Question

已知：如图，PA为⊙O的切线，A为切点，割线PBC过圆心O，PA=4，PB=2．
（1）求BC、AB的长；
（2）若∠BAC的平分线与BC和⊙O分别相交于点D、E．求AE的长．

Answer

（1）设出BC为x，由BP=2，根据BC+BP表示出PC，再由PA的长，利用切割线定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到BC的长；由PA为圆的切线，根据弦切角等于夹弧所对的圆周角得到一对角相等，再由一对公共角，根据两对对应角相等的两三角形相似可得△PBA∽△PAC，根据相似得比例，把PB和PA的长代入得到AC=2AB，又CB为圆的直径，故所对的圆周角为直角，得到三角形ABC为直角三角形，设AB=k，则AC=2k，再由BC的长，利用勾股定理列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，即为AB的长；
（2）由AE为角平分线，根据角平分线的定义得到一对角相等，再由弦切角等于夹弧所对的圆周角得到另一对角相等，根据三角形的外角性质，等量代换及对顶角相等可得∠PAD=∠PDA，根据等角对等边得到PA=PD=4，进而分别求出BD，CD及OD的长，连接OE，OA，由PA为圆的切线，得到∠OAP=90°，即∠OAE+∠DAP=90°，又OE=OA，根据等边对等角得到∠OAE=∠OEA，由刚才得到∠PAD=∠PDA=∠ODE，等量代换可得∠EOD=90°，从而在直角三角形EOD中，由OD与OE的长根据勾股定理求出DE的长，然后利用相交弦定理求出AD的长，由DE+AD即可求出AE的长．
【解析】
（1）设BC=x，PC=BC+BP=x+2，PA=4，
∵PA为⊙O的切线，PC为⊙O的割线，
∴PA2=PB•PC，即16=2（x+2），
解得：x=6，则BC=6；
∵PA为⊙O的切线，
∴∠PAB=∠C，又∠P=∠P，
∴△PBA∽△PAC，
∴，又PB=2，PA=4，
∴，
∴AC=2AB，
设AB=k，AC=2k，
∵CB为圆的直径，∴∠CAB=90°，
在Rt△ABC中，由BC=6，
根据勾股定理得：BC2=AB2+AC2，
即36=k2+4k2，解得：k=，
则AB=；

（2）∵AE为∠CAB的平分线，∴∠CAE=∠BAE，
又∵AP为圆的切线，∴∠PAB=∠C，
∵∠PDA为△CAD的外角，
∴∠PDA=∠C+∠CAE，又∠PAD=∠PAB+∠BAD，
∴∠PAD=∠PDA，
∴PA=PD=4，
∴BD=DP-BP=4-2=2，CD=CB-BD=6-2=4，OD=CD-OC=4-3=1，
连接AO，OE，由PA为圆的切线，得到∠OAP=90°，
∴∠OAE+∠DAP=90°，
∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，
又∠PAD=∠PDA=∠ODE，
∴∠OEA+∠ODE=90°，
∴∠EOD=90°，
在Rt△EOD中，由OD=1，OE=3，
由勾股定理得DE=，
由相交弦定理得：AD•DE=BD•CD，
∴AD===，
则AE=AD+DE=+=．