Question

如图：直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B=90°，AB=7，BC-AD=1．以CD为直径的圆O与AB有两个不同的公共点E、F，与BC交于点G．
（1）求⊙O的半径；
（2）求证：AE=BF；
（3）当AE=1时，在线段AB上是否存在点P，以点A，P，D为顶点的三角形与以点B，P，C为顶点的三角形相似？若存在，在图中描出所有满足条件的点P的位置（不要求计算）；若不存在，请说理由．
（4）当AE为何值时，能满足（3）中条件的点P有且只有两个？

Answer

（1）连接DG，根据直径所对的圆周角是直角得出DG⊥BC，在△DGC中根据勾股定理求出DC的长即可；
（2）作OM⊥AB于M，根据垂径定理求出EM=FM，根据梯形的中位线推出AM=BM即可；    
（3）有三个点：①P与E重合时，∠CED=90°，根据同角的余角相等得出∠AED=∠ECB，又∠DAB=∠ABC，由两角对应相等的两三角形相似证明出△AED∽△BCE，即可求出AP；②P与点F重合时，与①类似能求出AP；③P在线段EF上，由△APD∽△BPC，根据相似三角形的性质得出比例式求出AP即可． 
（4）当P3与E（P1）重合时，即∠AED=∠BEC=45°，只有两解，根据相似三角形的性质得出比例式求出AE=3．
【解析】
（1）连接DG．
∵CD为直径，
∴DG⊥BC，
在△DGC中，∵BC-AD=1，
∴GC=1，
又∵AB=7，
∴DC==5，
∴⊙O的半径为；

（2）作OM⊥AB于M，根据垂径定理得EM=FM，
又∵AD∥OM∥BC，OD=DC，
∴AM=BM，
∴AM-EM=BM-FM，
即AE=BF；

（3）有三个点．
设AD=x，则BC=x+1，根据勾股定理，
AD2+AE2=DE2，即 x2+1=DE2，
BE2+BC2=CE2，即62+（x+1）2=CE2，
又CE2+DE2=CD2=50，
即  x2+1+[62+（x+1）2]=50，
解得 x=2，
即AD=2，BC=3．
第一种情况：∠APD+∠BPC=90．
只有∠DPC=90度时，∠APD+∠BPC=90，△PAD∽△CBP．
根据圆的特性，CD为直径，所以这样的点都在圆弧上，即点E，F
设AF=y．则根据AD2+AF2+BF2+BC2=CD2，
∴4+y2+（7-y）2+9=50，
解得y1=1，y2=6
即 AP=1，或者AP=6；
第二种情况：∠APD=∠BPC时，三角形PAD相似于PBC．
假设存在这样的点P，使得：∠APD=∠BPC时，△APD∽△BPC，则
AP：BP=AD：BC=2：3，
又∵AP+BP=AB=7，
所以AP=7×=．
综合以上，可以看出，这样的点有3个，AP的长度分别为 1，6，；

（4）当P3与E（P1）重合时，即∠AED=∠BEC=45°，此时△APD与△BPC都是等腰直角三角形，
由△APD∽△BPC，得AP=AD，BP=BC，
又AP+BP=7，BC-AD=1，
∴AP=3，即AE=3．
故当AE=3时，满足（3）中条件的点P有且只有两个，即点E、点F．