Question

如图所示，已知边长为2的正三角形ABC中，P是BC边的中点，一束光线自P发出射到AC上的P₁后，依次反射到AB、BC上的点P₂和P₃，且1＜BP₃＜（反射角等于入射角），则P₁C的取值范围是    ．

Answer

首先利用光的反射定律及等边三角形的性质证明△PP1C∽△P2P1A∽△P2P3B，再根据相似三角形对应边成比例得到用含P3B的代数式表示P1C的式子，然后由
1＜BP3＜，即可求出P1C长的取值范围．
【解析】
∵反射角等于入射角，
∴∠PP1C=∠P2P1A=∠P2P3B，
又∵∠C=∠A=∠B=60°，
∴△PP1C∽△P2P1A∽△P2P3B，
∴==，
设P1C=x，P2A=y，则P1A=2-x，P2B=2-y．
∴==，
∴，
∴x=（2+P3B）．
又∵1＜BP3＜，
∴1＜x＜，
即P1C长的取值范围是：1＜P1C＜．
故答案为1＜P1C．