Question

△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，O是BC的中点，小敏拿着含45°角的透明三角板，使45°角的顶点落在点O，三角板绕O点旋转．
（1）如图（a），当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时，求证：△BOE∽△CFO；
（2）操作：将三角板绕点O旋转到图（b）情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于E、F．①探索：△BOE与△CFO还相似吗？（只需写结论）：连接EF，△BOE与△OFE是否相似？请说明理由．②设EF=x，△EOF的面积是S，写出S与x的函数关系式．

Answer

（1）找出△BOE与△CFO的对应角，其中∠BOE+∠COF=135°，∠COF+∠CFO=135°，得出∠BOE=∠CFO，从而解决问题；
（2）①小题同前可证，②小题可通过对应边成比例证明．
（1）证明：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．
∵∠B+∠BOE+∠BEO=180°，
∴∠BOE+∠BEO=135°，
∵∠EOF=45°，
又∵∠BOE+∠EOF+∠COF=180°，
∴∠BOE+∠COF=135°，
∴∠BEO=∠COF，
又∵∠B=∠C，
∴△BOE∽△CFO（两角对应相等的两个三角形相似）．

（2）【解析】
①△BOE∽△CFO；②△BOE与△OFE相似．
证明：同（1），可证△BOE∽△CFO，
得 CO：BE=OF：OE，
而CO=BO，
因此 OB：BE=OF：OE．
又因为∠EBO=∠EOF，
所以△BOE∽△OFE（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）．
②△ABC为等腰直角三角形，且AB=AC=2，O为BC中点，
∴BO=．
设EO=y，
∵△BOE∽△OFE，
∴，
即 ，
解得：FO=，
则S△EOF=•sin45°•EO•FO=•EO•FO．
∵EO•FO=x．
∴S=x．