Question

如图，在直角坐标系中，⊙O的圆心O在坐标原点，直径AB=6，点P是直径AB上的一个动点（点P不与A、B两点重合），过点P的直线PQ的解析式为y=x+m，当直线PQ交y轴于Q，交⊙O于C、D两点时，过点C作CE垂直于x轴交⊙O于点E，过点E作EG垂直于y轴，垂足为G，过点C作CF垂直于y轴，垂足为F，连接DE．
（1）点P在运动过程中，∠CPB=______°；
（2）当m=2时，试求矩形CEGF的面积；
（3）当P在运动过程中，探索PD²+PC²的值是否会发生变化？如果发生变化，请你说明理由；如果不发生变化，请你求出这个不变的值；
（4）如果点P在射线AB上运动，当△PDE的面积为3时，请你求出CD的长度．

Answer

（1）利用图象与x，y轴交点坐标得出QO=PO，从而得出∠CPB的度数即可；
（2）利用勾股定理求出CE，OH的长度，求出矩形CEGF的面积即可；
（3）根据PC2+PD2=（CM+PM）2+（DM-PM）2，得出即可；
（4）分别从当点P在直径AB上时，以及当点P在线段AB的延长线上时得出CD与CM的长度关系，进而求出即可．
【解析】
（1）∵过点P的直线PQ的解析式为y=x+m，
∴图象与x轴交点坐标的为：（-m，0），图象与y轴交点坐标的为：（0，m），
∴QO=PO，∠POQ=90°，
∴∠CPB=45°，
故答案为：45°；

（2）作OM⊥CD于M点，则CM=MD，
∵∠CPB=45°，CE⊥AB，
∴∠OQP=∠HCP=45°，PH=CH，
由题意得：QO=2，
∴OP=OQ=2，
∴PM=MQ=OM=，
连接OC，则CM==，
∴PC=+，
PH=CH=PC=，
∴CE=2CH=+2，
OH=PH-OP=-2=，
∴S矩形CEGH=CE×OH=（+2）×=5；

（3）不变，
当P点在线段OA上时，由（2）得：
PC2+PD2=（CM+PM）2+（DM-PM）2，
=（CM+OM）2+（CM-OM）2，
=2（CM2+OM2），
=2OC2，
=2×32，
=18，
当P点在线段OB上时，同理可得：PC2+PD2=18，
当P点与点O重合时，显然有：PC2+PD2=18；

（4）①当点P在直径AB上时如图所示，由圆的对称性可知，
∠CPE=2∠CPB=90°，PE=PC，
∴S△PDE=PD×PE=PD×PC=3，
∴PD×PC=6，
即（CM-PM）（CM+PM）=6，
（CM-OM）（CM+OM）=6，
∴CM2-OM2=6，
∴CM2-（32-CM2）=6，
∴CM2=，
∴CD=2CM=；
②当点P在线段AB的延长线上时，如图，同理有：PD×PC=6，
即：（PM+DM）（PM-CM）=6，
（OM+CM）（OM-CM）=6，
∴OM2-CM2=6，
∴（32-CM2）-CM2=6，
∴CM2=，
∴CD=2CM=，
综上所述：CD为或．