Question

如图，△ABC的面积为1，点D、G、E 和F分别在边AB、AC、BC上，BD＜DA，DG∥BC，DE∥AC，GF∥AB．则梯形DEFG面积的最大可能值为    ．

Answer

首先设=x，可得=1-x，由DG∥BC，根据平行线分线段成比例定理，可得=1-x，然后由DG∥BC，DE∥AC，GF∥AB，证得△ADG∽△ABC，△BDE∽△BAC，△CFG∽△CBA，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△ADG，△BDE，△CGF的面积，则可求得S梯形DEFG=1-x2-2（1-x）2，根据二次函数的性质，即可求得梯形DEFG面积的最大可能值．
【解析】
设=x，则=1-x，
∵DG∥BC，
∴=1-x，
∵DG∥BC，DE∥AC，GF∥AB，
∴△ADG∽△ABC，△BDE∽△BAC，△CFG∽△CBA，
∴=x2，=（1-x）2，=（1-x）2，
∴S梯形DEFG=1-x2-2（1-x）2=-3x2+4x-1=-3（x-）2+，
∴当x=时，即=，此时BD＜DA，梯形DEFG面积的最大值为．
故答案为：．