Question

试证明：二次函数y=nx²-2mx-2n的图象与x轴交于不同的A、B两点，并回答下列问题：
若二次函数y=nx²-2mx-2n的图象的顶点在以AB为直径的圆上．
（1）m、n间有何关系？
（2）设以AB为直径的圆与y轴交于点C、D，弦CD的长是否为定值？

Answer

（1）要证明原抛物线与x轴有两个不同的交点，只要证明当y=0时△＞0就可以说明抛物线与x轴有两个不同的交点．然后将抛物线的解析式转化为顶点式，再根据根与系数的关系和两点间的距离公式可以求出m、n之间的数量关系．
（2）利用垂径定理和圆周角定理可以证明三角形相似来证明OD2=AO•OB，根据根与系数的关系可以求出OD的值，从而求出CD的值，判断其为定值．
【解析】
令y=0时，则nx2-2mx-2n=0，
∴△=（-2m）2-4n（-2n）
=4m2+8n2
∵n≠0
∴△＞0
∴方程nx2-2mx-2n=0有两个不同的实数根x1，x2
∴二次函数y=nx2-2mx-2n的图象与x轴交于不同的交点．
（1）∵y=nx2-2mx-2n
∴y=（x-）2-2n-
所以它的顶点坐标为（）
HE=||
∵x1+x2=，x1•x2=-2
∴AB=|x1-x2|===
∴=2||
变形为：m2+2n2=1

（2）连接AD、BD
∴∠ADB=90°
∴OD2=OA•OB=|x1|•|x2|=|x1x2|=2
∴OD=
∵CD=2OD
∴CD=2
即CD的长为恒值2．