Question

如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC=120°、动点P、Q同时从点A出发，其中点P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动；点Q以的速度，沿A→C的路线向点C运动．当P、Q到达终点C时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒．
（1）直接填空：AP=______cm，AQ=______

Answer

（1）根据点P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动；点Q以的速度，沿A→C的路线向点C运动，于是在时间t内即可求出两点运动的位移，即可求出AP和AQ的长度．
（2）①当点P、M、N在同一直线上时，PM+MN的值最小，根据AQ+QM=AM即可求出t的值，如图1，若0＜t≤5时，则AP=4t，，根据三角形相似证明∠AQP=90°，即PQ⊥AC，于是求出△PQM的面积S的最大值，同理求出当5＜t≤10时，△PQM的面积S的最大值．
【解析】
（1）4t，…（2分）

（2）①当点P、M、N在同一直线上时，PM+MN的值最小．…（3分）
如图，在Rt△APM中，易知，
又∵，．
由AQ+QM=AM得：，
解得．
∴当时，PM+MN的值最小．…（7分）
②如图1，若0＜t≤5时，则AP=4t，．
则，
又∵，AB=20，
∴．
∴．
又∵∠CAB=30°，
∴△APQ∽△ABO．
∴∠AQP=90°，即PQ⊥AC．
，
当时，S有最大值．…（10分）
②若5＜t≤10时，则CP=40-4t，PQ=20-2t，．
则，
又∵，CB=20，
∴．
又∵∠ACB=30°，
∴△QCP∽△OCB．
∴∠CQP=90°，即PQ⊥AC，
当时，S有最大值．…（13分）
综上，当或时，S的最大值都是．