Question

如图，二次函数y=x²+bx+c的图象经过点B，且与x轴交于点D和点E，已知点A（-2，0）、B（0，2）、D（1，0）和E（m，0）．
（1）写出直线AB的函数表达式；
（2）求b、c的值；
（3）求m的值；
（4）直线AB上有点C，其横坐标为4，那么点C是抛物线上的点吗？为什么？

Answer

（1）设出直线AB解析式为y=kx+b，把A和B的坐标代入，得到关于k与b的二元一次方程组，求出方程组的解得到k与b的值，从而确定出直线AB的函数表达式；
（2）因为二次函数图象过B和D两点，故把这两点坐标代入二次函数解析式中，得到关于b与c的方程组，求出方程组的解得到b与c的值；
（3）又E在二次函数图象上，把E的坐标代入到第二问得到的二次函数解析式中，得到关于m的方程，求出方程的解得到m的值；
（4）C是抛物线上的点，理由为：根据C的横坐标为4，代入第一问求出的直线AB解析式中求出C的纵坐标，确定出C的坐标，然后把横坐标代入到二次函数解析式中求出对应的函数值，发现其函数值等于C的纵坐标，故C在抛物线上．
【解析】
（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（-2，0），B（0，2）两点的坐标代入得：
，解得，
则直线AB的函数表达式为y=x+2；

（2）把B（0，2）及D（1，0）代入二次函数解析式y=x2+bx+c得：
，解得：，
则b=-3，c=2；

（3）由（2）得到的b=-3，c=2，确定出二次函数解析式为y=x2-3x+2，
又E（m，0）在二次函数图象上，
所以把E坐标代入二次函数解析式得：m2-3m+2=0，即（m-1）（m-2）=0，
解得m=1（舍去）或m=2，
则m的值为2；

（4）C为二次函数图象上的点，理由为：
因为C为直线AB上的点，且横坐标为4，
所以把x=4代入直线AB解析式y=x+2中得：y=6，
所以C（4，6），
把x=4代入二次函数解析式y=x2-3x+2得：y=16-12+2=6，
故C在二次函数图象上．