Question

如图，四边形OABC是菱形，点C在x轴上，AB交y轴于点H，AC交y轴于点M．点P从点A出发，以2单位长/秒的速度沿折线A-B-C运动，到达点C终止．已知点A（-3，4），设点P的运动时间为t（秒），△PMB的面积为S（平方单位）．
（1）求点C和点B的坐标；
（2）求点M的坐标；
（3）求S与t的函数关系式；
（4）求S的最大值．

Answer

（1）根据A的坐标求出AH、OH，根据勾股定理求出AO，再利用菱形的性质即可求出点C和点B的坐标；
（2）由（1）可知点C和点B的坐标，设直线AC的解析式是y=kx+b，把A（-3，4），C（5，0）代入得到方程组，求出即可；
（3）过M作MN⊥BC于N，根据角平分线性质求出MN，P在AB上，根据三角形面积公式求出即可；P在BC上，根据三角形面积公式求出即可；
（4）求出P在AB的最大值和P在BC上的最大值比较即可得到答案．
【解析】
（1）∵A（-3，4），
∴AH=3，OH=4，
由勾股定理得：AO==5，
∵菱形OABC，
∴OA=OC=BC=AB=5，
∴BH=AB-AH=5-3=2，
∴B（2，4），C（5，0）．

（2）设直线AC的解析式是y=kx+b，
把A（-3，4），C（5，0）代入得：
，
解得：
∴直线AC的解析式为 y=-x+，
当x=0时，y=2.5
∴M（0，2.5）．

（3）过M作MN⊥BC于N，
∵菱形OABC，
∴∠BAC=∠OCA，
∵MO⊥CO，MN⊥BC，
∴OM=MN，
当0≤t＜2.5时，P在AB上，MH=4-2.5=，
S=×BP×MH=×（5-2t）×=-t+，
∴S=-t+，
当2.5＜t≤5时，P在BC上，S=×PB×MN=×（2t-5）×=t-，
∴S=t-，
答：S与t的函数关系式是 S=-t+（0≤t＜2.5）或 S=t-（2.5＜t≤5）．

（4）当P在AB上时，高MH一定，只有BP取最大值即可，即P与A重合，S最大是×5×=，
同理在BC上时，P与C重合时，S最大是×5×=，
∴S的最大值是，
答：S的最大值是．