Question

如图，半径OC⊥弦AB于E，过B作⊙O的切线交OC的延长线于点D，已知BD=8，OD=10，点P是优弧上的一个动点．
（1）求⊙O的半径；
（2）当点P运动至时，弦AC与弦BP有何关系？并证明你的结论；
（3）当点P运动至BO的延长线上时，求出此时AP的长．

Answer

（1）连OB，根据切线的性质得OB⊥DB，即∠OBD=90°，在Rt△OBD中利用勾股定理即可计算出OB的长；
（2）半径OC⊥弦AB，根据垂径定理得弧AC=弧BC，由得弧BC=弧AP，根据圆周角定理得到∠CAB=∠ABP，根据平行的判定即可得到AC∥BP；
（3）当点P运动至BO的延长线上时，根据圆周定理的推论得到∠PAB=90°，易得OD∥AP，则∠P=∠DOB，易证得Rt△APB∽Rt△BOD，然后利用相似比即可计算出AP的长．
【解析】
（1）连OB，如图，
∵BD为⊙O的切线，
∴OB⊥DB，即∠OBD=90°，
在Rt△OBD中，OD=10，BD=8，
∴OB2+BD2=OD2，
∴OB==6，
即⊙O的半径为6；

（2）当点P运动至时，弦AC∥弦BP．理由如下：
∵半径OC⊥弦AB，
∴弧AC=弧BC，
∵弧AP=弧AC，
∴弧BC=弧AP，
∴∠CAB=∠ABP，
∴AC∥BP；

（3）如图，
∵BP为⊙O的直径，
∴∠PAB=90°，
∴PA⊥AB，
而OE⊥AB，
∴OD∥AP，
∴∠P=∠DOB，
∴Rt△APB∽Rt△BOD，
∴AP：OB=BP：OD，即AP：6=12：10，
∴AP=．