Question

如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，点E是AD延长线上一点，若DE=AB=3cm，CE=4cm．
（1）添加四边形ABCD的对角线AC、BD后，请写出图中的一对全等三角形、一对（非全等的）相似三角形，并证明这对三角形全等；
（2）求AD的长．

Answer

（1）先得出结论：△ABC≌△EDC，△BCD∽△ACE；在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，得∠ABC+∠ADC=180°，再根据∠ADC+∠CDE=180°，则∠ABC=∠EDC，从而得出△ABC≌△EDC．
（2）由△ABC≌△EDC可判定△ACE是等腰直角三角形．过点C作CH⊥AE于点H，则CH=HE=AH．由勾股定理得出CH=4cm．即可得出AD．
【解析】
（1）△ABC≌△EDC，△BCD∽△ACE．
证明：在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，
∴∠ABC+∠ADC=360°-（∠BAD+∠BCD）=180°，
又∠ADC+∠CDE=180°，∴∠ABC=∠EDC，
又∵AB=ED，BC=DC，
∴△ABC≌△EDC．

（2）由△ABC≌△EDC可得：AC=CE，∠ACE=∠BCD=90°，
∴△ACE是等腰直角三角形．
过点C作CH⊥AE于点H，
∴CH=HE=AH．
由CH2+HE2=CE2，可得：2CH2=（4）2，
∴CH=4cm．
∴AD=AE-DE=2AH-DE=8-3=5cm．