Question

如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
（1）试判断线段BD与CD的大小关系；
（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论；
（3）若△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°时，判断四边形AFBD的形状，并说明理由．

Answer

（1）先证明△AFE≌△DCE，从而得到AF=CD，因为AF=BD，从而得解．
（2）根据三线合一可知道AD⊥BC，从而四边形是矩形．
（3）直角三角形斜边的中线是斜边的一半，从而AD=BD，四边形是菱形．
【解析】
（1）∵AF∥BC，
∴∠FAE=∠CDE，
在△AEF和△DEC中，
，
∴△AEF≌△DEC（ASA），
∴AF=CD，
∵AF=BD，
∴BD=CD．

（2）∵AF∥BC，AF=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴四边形AFBD是矩形．

（3）∵∠BAC=90°，BD=CD，
∴BD=AD（直角三角形斜边的中线是斜边的一半）．
∵四边形AFBD是平行四边形，
∴四边形AFBD是菱形．