Question

如图，有一直径MN=4的半圆形纸片，其圆心为点P，从初始位置Ⅰ开始，在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ，其中，位置Ⅰ中的MN平行于数轴，且半⊙P与数轴相切于原点O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于数轴；位置Ⅲ中的MN在数轴上；位置Ⅴ中的点N到数轴的距离为3，且半⊙P与数轴相切于点A．
解答下列问题：
（1）位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为______；位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是______；
（2）求位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数；
（3）纸片半⊙P从位置Ⅲ翻滚到位置Ⅳ时，求点N所经过路径长及该纸片所扫过图形的面积；
（4）求OA的长．
[（2），（3），（4）中的结果保留π]．

Answer

（1）先求出圆的半径，再根据切线的性质进行解答；
（2）根据位置Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等求出的长，再根据弧长公式求出的长，进而可得出结论；
（3）作NC垂直数轴于点C，作PH⊥NC于点H，连接PA，则四边形PHCA为矩形，在Rt△NPH中，根据sin∠NPH==即可∠NPH、∠MPA的度数，进而可得出的长，
【解析】
（1）∵⊙P的直径=4，
∴⊙P的半径=2，
∵⊙P与直线有一个交点，
∴位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2；位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切；
故答案为：2，相切；

（2）位置Ⅰ中的长与数轴上线段ON相等，
∵的长为=π，NP=2，
∴位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数为π+2．（4分）
（3）点N所经过路径长为=2π，（5分）
S半圆==2π，S扇形==4π，
半⊙P所扫过图形的面积为2π+4π=6π．（7分）

（4）如图，作NC垂直数轴于点C，作PH⊥NC于点H，连接PA，则四边形PHCA为矩形．
在Rt△NPH中，PN=2，NH=NC-HC=NC-PA=1，
于是sin∠NPH==，
∴∠NPH=30°．
∴∠MPA=60°．
从而的长为=，于是OA的长为π+4+π=π+4．（10分）