Question

如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为，点A在y轴正半轴上，点B在x轴负半轴上，B（-1，0），C、D两点在抛物线y=x²+bx+c上．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）正方形ABCD沿射线CB以每秒个单位长度平移，1秒后停止，此时B点运动到B₁点，试判断B₁点是否在抛物线上，并说明理由；
（3）正方形ABCD沿射线BC平移，得到正方形A₂B₂C₂D₂，A₂点在x轴正半轴上，求正方形ABCD的平移距离．

Answer

（1）首先作出辅助线证明Rt△BCE≌Rt△ABO，进而得出CE=BO，BE=AO，同理可得△ADF≌△ABO，再求出C（1，-1）、D（2，1）即可求出抛物线解析式；
（2）根据题意，得1秒后点B移动的长度为，则 BB1=，进而求出Rt△ABO≌Rt△BB1N，从而得出B1坐标，得出答案即可；
（3）首先证明△A2BB2∽△BAO，再求出正方形ABCD平移的距离．
【解析】
（1）如图，过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥y轴于点F．
∵正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠AOB=90°，
即∠OBC+∠ABO=∠BAO+∠ABO=90°．
∴∠OBC=∠BAO．
在Rt△BCE和Rt△ABO中，
∵∠OBC=∠BAO，BC=AB，∠CEB=∠BOA=90°，
∴Rt△BCE≌Rt△ABO（AAS）．
∴CE=BO，BE=AO．
∵B（-1，0），
∴BO=1．
∵AB=，
∴在Rt△ABO中，由勾股定理，得AO===2．
∴CE=1，BE=2．
∴OE=BE-BO=1．
∴C（1，-1）．
同理可得△ADF≌△ABO．
∴DF=AO=2，AF=BO=1．
∴OF=AO-AF=2-1=1．
∴D（2，1）．
将C（1，-1）、D（2，1）分别代入y=x2+bx+c中，
可得
解得
∴此抛物线的表达式为y=x2+x-2．

（2）点B1在抛物线上．
理由：根据题意，得1秒后点B移动的长度为，
×1=，
则 BB1=．
如图，过点B1作B1N⊥x轴于点N．
在Rt△ABO与Rt△BNB1中，
∵∠AOB=∠BNB1=90°，
∠2=∠B1BN=90°-∠ABO，AB=B1B，
∴Rt△ABO≌Rt△BB1N．
∴B1N=BO=1，NB=AO=2．
∴NO=NB+BO=2+1=3．
∴B1（-3，1）．
将点B1（-3，1）代入y=x2+x-2中，可得点B1（-3，1）在抛物线上．

（3）如图，设正方形ABCD沿射线BC平移后的图形为正方形A2B2C2D2．
∵∠OBC=∠BAO，∠BB2A2=∠AOB，
∴△A2BB2∽△BAO．
∴=．
∵AO=2，BO=1，A2B2=，
即 =，
∴BB2=2．
∴正方形ABCD平移的距离为2．