Question

如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，平行四边形的顶点C的坐标为（8，8），顶点A的坐标为（-6，0），边AB在x轴上，点E为线段AD的中点，点F在线段DC上，且横坐标为3，直线EF与y轴交于点G，有一动点P以每秒1个单位长度的速度，从点A沿折线A-B-C-F运动，当点P到达点F时停止运动，设点P运动时间为t秒．
（1）求直线EF的表达式及点G的坐标；
（2）点P在运动的过程中，设△EFP的面积为S（P不与F重合），试求S与t的函数关系式；
（3）在运动的过程中，是否存在点P，使得△PGF为直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据点C的坐标可求出点F的纵坐标，结合题意可得出点F的坐标，过点E作EH⊥x轴于点H，利用△AHE∽△AOD，可求出点E的坐标，从而利用待定系数法可确定直线EF的解析式，令x=0，可得出点G的坐标．
（2）延长HE交CD的延长线于点M，讨论点P的位置，①当点P在AB上运动时，②当点P在BC边上运动时，③当点P在CF上运动时，分别利用面积相减法可求出答案．
（3）很明显在BC上存在两个点使△PGF为直角三角形，这两点是通过①过点G作GP⊥EF，②过点F作FP⊥EF得出来的．
【解析】
（1）∵C（8，8），DC∥x轴，点F的横坐标为3，
∴OD=CD=8．
∴点F的坐标为（3，8），
∵A（-6，0），
∴OA=6，
∴AD=10，
过点E作EH⊥x轴于点H，
则△AHE∽△AOD．
又∵E为AD的中点，
∴===．
∴AH=3，EH=4．
∴OH=3．
∴点E的坐标为（-3，4），
设过E、F的直线为y=kx+b，
∴
∴
∴直线EF为y=x+6，
令x=0，则y=6，即点G的坐标为（0，6）．

（2）延长HE交CD的延长线于点M，
则EM=EH=4．
∵DF=3，
∴S△DEF=×3×4=6，
且S平行四边形ABCD=CD•OD=8×8=64．
①当点P在AB上运动时，如图3，
S=S平行四边形ABCD-S△DEF-S△APE-S四边形PBCF．
∵AP=t，EH=4，
∴S△APE=×4t=2t，
S四边形PBCF=（5+8-t）×8=52-4t．
∴S=64-6-2t-（52-4t），
即：S=2t+6．
②当点P在BC边上运动时，
S=S平行四边形ABCD-S△DEF-S△PCF-S四边形ABPE．
过点P作PN⊥CD于点N．
∵∠C=∠A，sin∠A==，
∴sin∠C=．
∵PC=18-t，
∴PN=PC•sin∠C=（18-t）．
∵CF=5，
∴S△PCF=×5×（18-t）=36-2t．
过点B作BK⊥AD于点K．
∵AB=CD=8，
∴BK=AB•sin∠A=8×=．
∵PB=t-8，
∴S四边形ABPE=（t-8+5）×=t-．
∴S=64-6-（36-2t）-（t-），
即 S=-t+．（8分）
③当点P在CF上运动时，
∵PC=t-18，
∴PF=5-（t-18）=23-t．
∵EM=4，
∴S△PEF=×4×（23-t）=46-2t．
综上：S=

（3）存在．
P1（，）．
P2（，）．