Question

如图，周长为10的矩形OABC（OC＜OA）在直角坐标系中，其中一个顶点B恰在函数y=（x＞0）的图象上．
（1）矩形OABC的面积为______；
（2）是确定A，B，C三点的坐标；
（3）若抛物线y=ax²+bx+c经过B，C两点，且顶点P在x轴上，试确定其解析式．

Answer

（1）由点B在双曲线上，则矩形OABC的面积为点B横纵坐标乘积的绝对值；
（2）设矩形的宽AB=x，则矩形的长（5-x），根据矩形的面积可得出x，从而得出A，B，C三点的坐标；
（3）根据题意可得出抛物线的顶点的坐标，可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，将点C代入即可得出a，即可求得二次函数的解析式．
【解析】
（1）矩形OABC的面积为4；

（2）设矩形的宽AB=x，则矩形的长（5-x），
∵矩形的OABC的面积为4，
∴x（5-x）=4，
解得x=1或4（不合题意，舍去）
即矩形的长为4，宽为1，
∴A（4，0），B（4，1），C（0，1）．

（3）∵抛物线y=ax2+bx+c经过B、C两点，且顶点P在x轴上，
由抛物线的对称性可知其顶点为（2，0），
∴抛物线的解析式可设为y=a（x-2）2，
由抛物线经过点C（0，1），
∴1=a（x-2）2，解得a=，
∴抛物线的解析式为y=（x-2）2．