Question

已知正方形ABCD的边长为4，E是边CD上的一个动点，以CE为一条直角边作等腰直角三角形CEF，连接BF、FD、BD，则BD与CF的位置关系式______．
（1）如图1，当CE=4（即点E与点D重合）时，△BDF的面积为______；
（2）如图2，当CE=2（即点E为CD的中点）时，△BDF的面积为______；
（3）如图3，当CE=3时，△BDF的面积为______．

（4）如图4，根据上述计算结果，当E是CD边上任意一点时，请提出你对△BDF面积与正方形ABCD的面积之间关系的猜想；并证明你的猜想．
（5）如图5，若E是CD延长线上任意一点时，请你判断（4）中的结论是否仍然成立．

Answer

根据正方形的性质和等腰直角三角形的性质求出BC=EF，BC∥EF，推出平行四边形BDFC即可；
（1）根据三角形的面积公式求出即可；
（2）根据△BDF的面积=S△BCD+S△CDF-S△BCF，代入求出即可；
（3）根据△BDF的面积=S△BCD+S△CDF-S△BCF，代入求出即可；
（4）根据△BDF的面积=S△BCD+S△CDF-S△BCF和EF=CE，代入求出即可；
（5）根据△BDF的面积=S△BCD+S△CDF-S△BCF、EF=CE和正方形的面积，代入求出即可．
【解析】
∵正方形ABCD和等腰直角三角形CDF，
∴BC∥AD，BC=CD=EF，
∴四边形BDFC是平行四边形，
∴BD∥CF，
故答案为：BD∥CF．

（1）【解析】
AD=DF=4，
∴S△BDF=DF×AB=×4×4=8，
故答案为：8．

（2）【解析】
△BDF的面积是S△BCD+S△CDF-S△BCF，…
=BC×CD+CD×EF-BC×CE，
=×4×4+×4×2-×4×2，
=8，
故答案为：8．

（3）【解析】
△BDF的面积是：S△BCD+S△CDF-S△BCF，
=BC×CD+CD×EF-BC×CE，
=×4×4+×4×3-×4×3，
=8，
故答案为：8．

（4）【解析】
S△BDF=S正方形ABCD，
证明：∵S正方形ABCD=AB×BC=4×4=16，
S△BDF=S△BCD+S△CDF-S△BCF，
=BC×CD+CD×EF-BC×CE，
=×4×4+×4×EF-×4×EF，
=8，
∴S△BDF=S正方形ABCD．

（5）仍然成立，
理由是：∵EF=CE，
∴S正方形ABCD=AB×BC，
S△BDF=S△BCD+S△CDF-S△BCF，
=BC×CD+CD×EF-BC×CE，
=BC×CD，
∴S△BDF=S正方形ABCD．