Question

10名棋手参加比赛，规定：每两名棋手间都要比赛一次，胜者得2分，下和各得1分，输者得0分．比赛结果表明：棋手们所得分数各不相同，前两名棋手没输过，前两名的总分之和比第三名多20分，第四名得分与后四名得分总和相等，那么前六名得分分别是多少？

Answer

先设第k名选手的得分为ak（1≤k≤10），得出a1、a2的值，再根据得出a4≥12，求出a3，再根据a1≤a3-1=12，求出a4，最后根据a1+a2+a3+…a8+a9+a10=90分别求出a5、a6的值．
【解析】
设第k名选手的得分为ak（1≤k≤10），依题意得：a1＞a2＞a3＞…a9＞a10
a1≤1+2×（9-1）=17，
a2≤a1-1=16，
a3+20=a1+a2，
∴a3≤13 ①，
又后四名棋手相互之间要比赛=6场，每场比赛双方的得分总和为2分，
∴a7+a8+a9+a10≥12，
∴a4≥12
而a3≥a4+1≥13，②
∴由①②得：a3=13，
∴a1+a2=33，
∴a1=17，a2=16，
又∵a1≤a3-1=12，
∴a4=12，
∵a1+a2+a3+…a8+a9+a10=×2=90，
∴17+16+13+12+a5+a6+12=90，
而a5+a6≤a5+a5-1，
即：a5≥10，
又a5＜a4=12，
∴a5=11，a6=9，
故前六名得分分别是：17，16，13，12，11，9．