Question

以关于x的整系数方程x²+（t-4）x+t=0的最大整数根为直径作⊙O，M为⊙O外的一点，过M作⊙O的切线MA和割线MBC，A为切点，若MA，MB，MC都是整数，且MB，MC都不是合数，求MA，MB，MC的长度．

Answer

运用根与系数的关系以及切割定理得出根的取值范围，进而确定z的取值，从而解决．
【解析】
设方程两根为x1、x2则
又MA=x，MB=y，BC=z，则x﹑y﹑z都是正整数．
由切割线定知
MA2=MB•MC=MB（MB+BC），
即x2=y2+yz⇒（x+y）（x-y）=yz．③
消去①和②中的t，得
x1x2=4-x1-x2．
整理分解，得
（x1+1）（x2+1）=5．
因为⊙O的直径是方程的最大整数根，不难求得最大整根t=4．进而，z=BC≤4．
又正整数z不是合数，故z=3，2，1．
当z=3时，（x+y）（x-y）=3y，有
可得适合题意的解为x=2，y=1．
当z=1和z=2时，没有适合题意的解，
所以，MA=x=2，MB=y=1，MC=y+z=4．