Question

如图，在平面直角坐标系中，以点A（，0）为圆心，以2为半径的圆与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点D、E．
（1）若抛物线y=x²+bx+c经过C、D两点，求出此抛物线的解析式；
（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点F，使得△FBD的周长最小；
（3）设Q为（1）中抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点M，使得四边形BCQM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
（4）连接BD、CD，设P为（1）中抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点P，使得△ABP与△DBC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）由已知条件先求出C，D两点的坐标，再把其横纵坐标分别代入抛物线的解析式求出b，c即可；
（2）BD的长为定值，所以要使△FBD周长最小，只需FB+FD最小，连接DC，则DC与对称轴的交点即为使△FBD周长最小的点；
（3）设Q（，t）为抛物线对称轴x=上一点，M在抛物线上，要使四边形BCQM为平行四边形，则BC∥QM且BC=QM，再分①当点M在对称轴的左侧时和①当点M在对称轴的右侧时，讨论即可；
（4）由（1）得B（-，0），BD=2，DC=6，AB=2，因为BC为圆的直径，所以△BDC是直角三角形，所以可判定Rt△BDC和Rt△PAB相似，有相似的性质和对称的性质可求出点P的坐标．
【解析】
（1）∵OA=，AD=AC=2，
∴C（3，0）
又在Rt△AOD中，OA=
∴OD==3，
∴D（O，-3），
又∵D，C两点在抛物线上，
∴c=-3，
∴b=-，
∴抛物线的解析式为y=x2-x-3；

（2）∵y=x2-x-3=（x-）2-4；
∴抛物线的对称轴方程为：x=，
∵BD的长为定值，∴要使△FBD周长最小，只需FB+FD最小，
连接DC，则DC与对称轴的交点即为使△FBD周长最小的点，
设直线DC的解析式为y=mx+n，
有n=-3，得：m=，
∴直线DC的解析式为y=x-3，
由y=x-3，得x=，
∴y=-2，
∴F的坐标为（，-2）；

（3）存在，
设Q（，t）为抛物线对称轴x=上一点，M在抛物线上，
要使四边形BCQM为平行四边形，则BC∥QM且BC=QM，
①当点M在对称轴的左侧时，过点Q作直线L∥BC与抛物线交于点M（x，t），由BC=QM得QM=4，从而x=-3，t=12；故在抛物线上存在点M1（-3，12）使得四边形BCQM为平行四边形；
②同理可知当点M在对称轴的右侧时，在抛物线上存在M2（5，12）使得四边形BCQM为平行四边形；
③当点M在对称轴上时，在抛物线上存在M3（，-4）使得四边形BMCQ为平行四边形；

（4）由（1）得B（-，0），BD=2，DC=6，AB=2
∵BC为圆的直径，∴△BDC是直角三角形，
∴在Rt△BDC和Rt△PAB中
当，△BDC∽△P1AB，∴AP1==6，∴P1（，6）
当，△BDC∽△P2AB，∴AP2==2，∴P2（，2）
根据对称性可得P3（，-6）．P4（，-2）．
∴点P的坐标为P1（，6），P2（，2），P3（，-6）．P4（，-2）．