Question

如图：抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B．
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）点Q（x，0）是x轴上的一动点，过Q点作x轴的垂线，交抛物线于P点、交直线BA于D点，连接OD，PB，当点Q（x，0）在x轴上运动时，求PD与x之间的函数关系式；以O、B、P、D为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能求出Q点坐标；若不能，请说明理由．
（3）是否存在一点Q，使以PD为直径的圆与y轴相切？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）先通过代入A点坐到二次函数解析式中，求出系数a的值，从而求二次函数解析式，再代入A，B求出直线AB解析式；
（2）设高Q（x，0），利用平行四边形性质对边相等列出关于x的方程，注意平行于y轴的直线中，两点之间的线段长度可以有两点的纵坐标之差来求；
（3）利用运动的观点，分别从当0＜x＜3时，x＜0时，x＞3时三类情况讨论圆与y的相切的关系即可求得Q的坐标．
【解析】
（1）设抛物线的解析式为：y1=a（x-1）2+4，
把A（3，0）代入解析式求得a=-1，
∴y1=-（x-1）2+4=-x2+2x+3，
设直线AB的解析式为：y2=kx+b，
由y1=-x2+2x+3求得B点的坐标为（0，3），
把A（3，0），B（0，3）代入y2=kx+b中，
解得：k=-1，b=3；
∴直线AB的解析式为：y2=-x+3；

（2）设存在符合条件的点Q（x，0），则P点、D点的横坐标都为x，
PD=QP-QD=y1-y2=（-x2+2x+3）-（-x+3）=-x2+3x，
当PD=OB=3时，四边形OBPD成为平行四边形-x2+3x=3，此方程无解，
∴不存在点Q；
当Q在x轴的负半轴Q′上时，如图：P′D′=（-x+3）-（-x2+2x+3）=x2-3x=OB=3，
解得：x=＞0（舍去），x=，
∴以O、B、P、D为顶点的四边形能成为平行四边形；

（3）假设存在一点Q，使以PD为直径的圆与y轴相切，
①当0＜x＜3时，设半径r，r=PD，PD=QP-QD=y1-y2=（-x2+2x+3）-（-x+3）=-x2+3x，
∴r=（-x2+3x），
∴x=（-x2+3x），
解得：x1=1，x2=0（舍去），
∴Q1（1，0）；
①当x＜0时，设半径为r，r=PD，PD=QD-QP=y2-y1=（-x+3）-（-x2+2x+3）=x2-3x，
∴r=（x2-3x），
∴-x=（x2-3x），
解得：x1=1（舍去），x2=0（舍去），
③当x＞3时，设半径为r，r=PD，PD=QD-QP=y2-y1=（-x+3）-（-x2+2x+3）=x2-3x，
∴r=（x2-3x），
∴x=（x2-3x），
解得：x1=5，x2=0（舍去），
∴Q2（5，0）；
∴Q1（1，0）、Q2（5，0）时都与y轴相切．