Question

如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．
（1）求证：CE=CF；
（2）在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，探索GE、BE、GD之间的数量关系，并加以证明；
（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=10，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=3，求DE的长．

Answer

（1）由条件直接证明三角形全等就可以得出CE=CF．
（2）由条件和（1）的结论可以证明三角形ECG全等三角形FCG，可以得出EG=FG，可以得出GE=BE+GD．
（3）过点C作CD⊥AD交AG的延长线于点D，延长AG使DH=BE，从而运用（2）的结论可以表示出DG，由勾股定理就可以求出DE的值．
【解析】
（1）证明：在正方形ABCD中，
∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=∠BCD=∠ADC．
∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，
∴△CBE≌△CDF（SAS），
∴CE=CF．

（2）GE=BE+GD
∵△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF．
∵∠GCE=45°，
∴∠BCE+∠GCD=45°
∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，
∴∠GCF=∠GCE，
∴△GCE≌△GCF，
∴GE=GF，
∵GF=GD+DF，
∴GE=GD+DF，
∴GE=GD+BE．

（3））过点C作CD⊥AD交AG的延长线于点D，延长AG使DH=BE，连结CH．
在直角梯形ABCD中，
∵AD∥BC，∠A=∠B=90°，∠ADC=90°，AB=BC，
∴四边形ABCD是正方形．
∵∠DCE=45°，由（2）的结论，得
GE=DG+BE，设DE=x，则DG=x-3，
∴AD=13-x．
在Rt△AED中
DE2=AD2+AE2，
x2=（13-x）2+72，
解得：x=
∴DE=．