Question

如图1，点P是△ABD中AD边上一点，当P为AD中点时，则有S_△ABP=S_△BDP，如图2，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，探究：
（1）当AP=AD时，如图3，△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系？写出求解过程；
（2）当AP=AD时，探究S_△PBC与S_△ABC和S_△DBC之间的关系，写出求解过程；
（3）一般地，当AP=AD（n表示正整数）时，探究S_△PBC与S_△ABC和S_△DBC之间的关系，写出求解过程；
（4）当AP=AD（0≤≤1）时，直接写出S_△PBC与S_△ABC和S_△DBC之间的关系．

Answer

（1）根据AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，得出△CDP和△CDA的高相等，进而得出S△PBC=S四边形ABCD-S△ABP-S△CDP，整理求出即可；
（2）仿照（1）的方法，只需把 换为 ；
（3）注意由（1）（2）得到一定的规律；得到面积和线段比值之间的一般关系；
（4）利用（3），得到更普遍的规律．
【解析】
（1）当AP=AD时（如图②）：
∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP=S△ABD．
∵PD=AD-AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP=S△CDA．
∴S△PBC=S四边形ABCD-S△ABP-S△CDP
=S四边形ABCD-S△ABD-S△CDA
=S四边形ABCD-（S四边形ABCD-S△DBC）-（S四边形ABCD-S△ABC）
=S△DBC+S△ABC．

（2）∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP=S△ABD．
又∵PD=AD-AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP=S△CDA．
∴S△PBC=S四边形ABCD-S△ABP-S△CDP
=S四边形ABCD-S△ABD-S△CDA
=S四边形ABCD-（S四边形ABCD-S△DBC）-（S四边形ABCD-S△ABC）
=S△DBC+S△ABC．
∴S△PBC=S△DBC+S△ABC

（3）S△PBC=S△DBC+S△ABC；
∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP=S△ABD．
又∵PD=AD-AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP=S△CDA
∴S△PBC=S四边形ABCD-S△ABP-S△CDP
=S四边形ABCD-S△ABD-S△CDA
=S四边形ABCD-（S四边形ABCD-S△DBC）-（S四边形ABCD-S△ABC）
=S△DBC+S△ABC．
∴S△PBC=S△DBC+S△ABC

（4）S△PBC=S△DBC+S△ABC．