Question

若干个1与2排成一行：1，2，1，2，2，1，2，2，2，1，2，------，规则是：第1个数是1，第2个数是2，第3个数是1，一般地，先写一行1，再在第k个1与第k+1个1之间插入k个2（k=1，2，3，---）．试问：（1）第2006个数是1还是2？
（2）前2006个数的和是多少？前2006个数的平方和是多少？
（3）前2006个数两两乘积的和是多少？

Answer

（1）根据规则可知第n-1行共有数字个数为2+3+4+…+n=-1，由于n=63时，数字个数为2015个，从而得出第2006个数；
（2）观察数的排列可知每行有一个1，其余都是2，得出前2006个数中1的个数和2的个数．
（3）根据数字规律假设出R=a1+a2+…+a2006=3950，T=a12+a22+…+a20062，进而求出即可．
【解析】
（1）把该列数如下分组：
1   第1组，
2  1   第2组，
2   2  1   第3组，
2    2   2  1   第4组，
2  2    2   2  1   第5组，
-------
2  2   2    2   2  1   第n组  （有n-1个2），
易得，第2006个数为第63组，第53个数，为2；

（2）前2006个数的和为62+1944×2=3950，
前2006个数的平方和是：62×12+1944×22=7838；

（3）记这2006个数为：
a1，a2，…a2006，
记R=a1+a2+…+a2006=3950，
T=a12+a22+…+a20062，
=62×12+1944×22，
=7838，
S=a1a2+a1a3+…+a1a2006+a2a3+a2a4+…+a2a2006+…+a2005a2006，
∴2S=（a1+a2+…+a2006）2-（a12+a22+…+a20062），
=R2-T，
=39502-7838，
S=（39502-7862）=7797331．