Question

如图，在图1中，A₁、B₁、C₁分别是等边△ABC的边BC、CA、AB的中点，在图2中，A₂，B₂，C₂分别是△A₁B₁C₁的边B₁C₁、C₁A₁、A₁B₁的中点，…，按此规律，则第n个图形中菱形的个数共有（ ）个．

A．n²
B．2n
C．3n
D．3n+1

Answer

根据菱形的判断定理：四条边相等的四边形是菱形或邻边相等的平行四边形是菱形．在图（1）中，有3个菱形；在图（2）中，有6个菱形；…按此规律，则第n个图形中菱形的个数共有3n个．
【解析】
在图（1）中，A1、B1、C1分别是等边三角形△ABC的边BC、CA、AB的中点，
∴A1C1∥AB1A1B1∥BC1A1C1∥B1C
∵A1C1=AB=1A1B1=BC1=A1C1=B1C，
∴四边形A1B1AC1、A1B1C1B、A1C1B1C是菱形，共有3个．
在图（2）中，A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1A1、A1B1的中点，
同理可证：四边形A1B1AC1、A1B1C1B、A1C1B1C、A2B2C2B1、A2B2A1C2、A2C2B2C1是菱形，共有6个．
…
按此规律，则第n个图形中菱形的个数共有3n个．
故选C．