Question

已知∠MON=90°，等边三角形ABC的一个顶点B是射线ON上的一定点，顶点A于点O重合，顶点C在∠MON内部
（1）当点A在射线OM上移动到A₁时，连接A₁B，请在∠MON内部作出以A₁B为一边的等边三角形A₁BC₁（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）设A₁B与OC交于点Q，BC的延长线与A₁C₁交于点D．求证：△BCQ∽△BA₁D；
（3）连接CC₁，试猜想∠BCC₁为多少度，并证明你的猜想．

Answer

（1）分别以B、A1为圆心，A1B长为半径画弧，两弧交于一点C1，连接A1C1，BC1即可；
（2）根据条件可以得到∠BCQ=∠BA1D=60°，∠A1BD=∠QBC，即可证出△BCQ∽△BA1D；
（3）首先证明∠ABA1=∠CBC1，再利用SAS定理证出△A1BA≌△C1BC，即可得到∠BCC1=∠BAA1=90°．
【解析】
（1）如图所示：

（2）∵△ACB和△A1C1B都是等边三角形，
∴∠BCQ=∠BA1D=60°，
∵∠A1BD=∠QBC，
∴△BCQ∽△BA1D；

（3）猜想∠BCC1=90°，
∵△ACB和△A1C1B都是等边三角形，
∴∠CBA=∠A1BC1=60°，A1B=C1B，AB=CB，
∴∠ABA1=∠CBC1，
在△A1BA和△C1BC中：，
∴△A1BA≌△C1BC（ASA），
∴∠BCC1=∠BAA1=90°．