Question

在直线l上摆放着三个正方形

（1）如图1，已知水平放置的两个正方形的边长依次是a，b斜着放置的正方形的面积S=______，两个直角三角形的面积和为______；（均用a，b表示）
（2）如图2，小正方形面积S₁=1，斜着放置的正方形的面积S=4，求图中两个钝角三角形的面积m₁和m₂，并给出图中四个三角形的面积关系；
（3）图3是由五个正方形所搭成的平面图，T与S分别表示所在的三角形与正方形的面积，试写出T与S的关系式，并利用（1）和（2）的结论说明理由．

Answer

（1）根据题意，可以证得中间的两个三角形全等，再根据勾股定理，即可得出答案；
（2）求出两个钝角三角形的底边和高，然后根据三角形的面积公式求解即可；
（3）利用勾股定理分别求出S和T的值，然后比较求解即可．
【解析】
（1）如图1所示：∵三个四边形均为正方形，
∴∠ACB+∠BAC=90°，∠ACB+∠DCE=90°，AC=CE，
∴∠BAC=∠DCE，
∵∠ABC=∠CDE=90°，
∴△ABC≌△CDE，
∴BC=DE=a，AB=CD=b，
∴S△ABC+S△CDE=ab，
同时AC2=AB2+BC2，
∵两个正方形的面积分别为a2，b2，
∴S=a2+b2，

（2）如图2所示，a=1，斜正方形边长c=2，b=，
由30°角和60°角易求出面积为m1的三角形底边长为1，高为，故m1=；
面积为m2的三角形边长为，高为1，故m2=．
结论：四个三角形的面积相等．

（3）S=T．如图3所示，首先由（2）知：T=S△ABC，
设小正方形边长为a，大正方形边长为b，
由（1）知：S=a2+b2，又图中四个小三角形的面积m=ab，
S△ABC=a2+b2+（a2+b2）+4×ab-（a+b）（2a+2b）=a2+b2=S，
∴S=T．