Question

已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，F是CD边的中点，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G，则下列结论正确的有（ ）
①BF=AC；②BF=2CE；③CE=BG；④DG=GH．

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer

根据∠ABC=45°，CD⊥AB于D，可以证明△BCD是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可得BD=CD，然后证明△BDF与△CDA全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=AC，从而判断①正确；根据BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，可以证明△ABE与△CBE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=CE，从而判断②正确；过F作FM垂直BC交BC于M，可证BG：BF=1：=，CE：BF=，从而求解；过F作FM⊥BC，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DF=FM，所以DG=FM，从图中可以看出FM＞GH，所以DG＞GH，从而判断④错误．
【解析】
∵∠ABC=45°，CD⊥AB于D，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD=CD，
∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，
∴∠DBF+∠A=90°，∠ACD+∠A=90°，
∴∠DBF=∠ACD，
在△BDF与△CDA中，
，
∴△BDF≌△CDA（ASA），
∴BF=AC，故①正确；

∵BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，
∴∠ABE=∠CBE，∠AEB=∠CEB=90°，
∴在△ABE与△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（ASA），
∴AE=CE=AC，
∴BF=2CE，故②正确；

过F作FM垂直BC交BC于M，
∵∠ABC=45°，∠BDC=90°，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∵H是BC边的中点，
∴DH垂直平分BC，
∵F是CD的中点，FM⊥BC，
∴FM是△CDH的中位线，
∴FM垂直平分HC，
则BG：BF=1：=，
CE：BF=
所以BG：CE=4：3，故③错误；

∵BE平分∠ABC，CD⊥AB于D，
∴FD=FM，
∴DG=FM，
从图可知，FM＞GH，
∴DG＞GH，故④错误．
综上所述，①②共2个正确．
故选B．