Question

如果一次函数y=-x+1的图象与x轴、y轴分别交于点A点、B点，点M在x轴上，并且使以点A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形，那么这样的点M有（ ）
A．3个
B．4个
C．5个
D．7个

Answer

分别令一次函数y=-x+1中x=0和y=0求出相应的y与x的值，得到A和B的坐标，进而得到OA与OB的长，利用勾股定理求出AB的长，根据题意可分4种情况考虑，当BM=BA时，由BO垂直于MA，根据三线合一得到O为MA的中点，由OA得长得到OM的长，根据M为x轴负半轴的点写出此时M的坐标即可；当AB=AM时，由AB的长，得到AM的长，进而由AM-OA得到OM的长，写出M的坐标即可；当MA=MB时，此时M与原点O重合，写出M的坐标；当AB=AM时，由AB的长得到AM的长，由OA+AM得到OM的长，写出M的坐标即可．
【解析】
一次函数y=-x+1中令x=0，解得y=1；令y=0，解得x=1，
∴A（1，0），B（0，1），即OA=OB=1，
在直角三角形AOB中，根据勾股定理得：AB=，
分四种情况考虑，如图所示：
当BM1=BA时，由BO⊥AM1，根据三线合一得到O为M1A的中点，此时M1（-1，0）；
当AB=AM2时，由AB=，得到OM2=AM2-OA=-1，此时M2（1-，0）；
当BA=AM3时，由AB=，得到AM3=，则OM3=OA+AM3=1+，此时M3（1+，0）；
当M4A=M4B时，此时M4与原点重合，此时M4（0，0）．
综上，这样的M点有4个．
故选B．