Question

某工厂用如图所示的长方形和正方形纸板做横式、竖式两种长方体形状的无盖包装纸盒．若有长方形纸板171张，正方形纸板82张，要做横式、竖式纸盒共50个
（1）若按纸盒的生产个数来分，有哪些生产方案？
（2）已知横式纸盒的利润为每个8元，竖式纸盒的利润为每个10元，若仅从销售的利润考虑，以上哪种方案的利润最大？最大利润是多少元？

Answer

（1）设生产横式的无盖长方体包装盒x个，则生产竖式的无盖长方体包装盒（50-x）个，根据题意可得两个关系式为：A种纸盒使用长方形纸板的个数+B种纸盒使用长方形纸板的个数≤长方形纸板的张数，A种纸盒使用正方形纸板的个数+B种纸盒使用正方形纸板的个数≤正方形纸板的张数，把相关数值代入求正整数解即可；
（2）设销售利润为W元，生产横式纸盒x个，根据题意可得：总利润=横式纸盒的利润×横式纸盒的个数+竖式纸盒的利润×竖式纸盒的个数，再根据函数关系式确定x的值，即可得到答案．
【解析】
（1）设生产横式的无盖长方体包装盒x个，则生产竖式的无盖长方体包装盒（50-x）个．
由题意得，（3分）
解得，29≤x≤32．
∵x是整数，
∴x1=29，x2=30，x3=31，x4=32．（4分）
答：有4种生产方案，分别是：
生产横式包装盒29个，竖式包装盒21个；
生产横式包装盒30个，竖式包装盒20个；
生产横式包装盒31个，竖式包装盒19个；
生产横式包装盒32个，竖式包装盒18个．（5分）

（2）设销售利润为W元，生产横式纸盒x个，
则w=8x+10（50-x）=-2x+500（7分）
∵-2＜0，W随x 的增大而减小，
∴当x=29时，W最大，最大值为442元；
答：生产横式纸盒29个，竖式纸盒21个，最大利润为442元．（9分）