Question

已知：如图，直角△ABC中，∠ABC=90°，将△ABC绕着顶点C按顺时针方向旋转角度α（0＜α＜180°）  得到△A′B′C，连接AA′，BB′，射线 BB′交AC于点M，交AA′于点N
（1）若AC=，α=2∠BAC，求线段BM的长
（2）求证：△AMN∽△BMC
（3）若3AN=4B′C，sin∠BAC=，请你确定旋转角α的度数（精确到1°）

Answer

（1）首先根据旋转的性质得到CB=CB'，然后根据等腰三角形的性质得到，
而∠BAC=，∠ABC=90°，由此得到∠BCM=90°-，接着得到∠CBB'=∠BCM，所以BM=CM，又∵∠BAC=∠ABM，所以有AM=BM，∴这样BM是Rt△ABC斜边上的中线，由此即可求出BM的长度；
（2）首先由（1）得到，而，所以∠CAA'=∠CBB'，又∠AMN=∠BMC，然后利用相似三角形的判定定理即可证明△AMN∽△BMC；
（3）根据相似三角形的性质可以得到，过点M画MH⊥AB于H，而，由此得到，在Rt△BHM中，，由此即可确定旋转角α的度数．
【解析】
（1）∵CB=CB'，
∴．
∵∠BAC=，∠ABC=90°，
∴∠BCM=90°-．
∴∠CBB'=∠BCM．
∴BM=CM．
又∵∠BAC=∠ABM，
∴AM=BM．（2分）
∴BM是Rt△ABC斜边上的中线，
∴BM=．（3分）

（2）∵CB=CB'，
∴．
同理，
∴∠CAA'=∠CBB'．（5分）
又∠AMN=∠BMC，
∴△AMN∽△BMC．（6分）

（3）∵△AMN∽△BMC．
∴．（7分）
过点M画MH⊥AB于H，
∵，
∴．
在Rt△BHM中，．（8分）
∴∠ABM=19.5°．
∴∠CBB'=∠CB'B=90°-19.5°=70.5°，
∴α=180°-70.5×2=39°．（10分）