Question

已知：如图1，抛物线C₁：（m＞0）的顶点为A，与y轴相交于点B，抛物线C₂：的顶点为C，并与y轴相交于点D，其中点A、B、C、D中的任意三点都不在同一条直线
（1）判断四边形ABCD的形状，并说明理由；
（2）如图2，若抛物线 （m＞0）的顶点A落在x轴上时，四边形ABCD恰好是正方形，请你确定m，n的值；
（3）是否存在m，n的值，使四边形ABCD是邻边之比为1： 的矩形？若存在，请求出m，n的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据题目条件可以表示出A（m，n ），C（-m，-n ），可以求得AO=CO，当x=时可以求出点B、D的坐标，从而可以证明BO=DO，CO从而得出结论．
（2）∵抛物线 （m＞0）的顶点A落在x轴上，可以得出n=0，由四边形ABCD恰好是正方形，由正方形的性质就可以得出OA=OB而建立等量关系求出其m的值．
（3）∵四边形ABCD是矩形，由矩形的性质可以得出OA=OB从而建立一个等量关系，由矩形ABCD的邻边之比为1：，可以得出，∠ABO=60°或∠ABO=30°，作AH⊥BD，表示出BH，用OB=BH+OH在建立一个等式，从而构成方程组，从两种情况求出方程组的解就可以了．
【解析】
（1）四边形ABCD是平行四边形，
∵A（m，n ），C（-m，-n ），
∴点A与点C关于原点对称．
∴点O、A、C三点在同一条直线上，
∴OA=OC．
∵，
∴OB=OD．
∴四边形ABCD是平行四边形．

（2）∵抛物线的顶点A落在x轴上，
∴n=0．
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，即，
解得：m1=0（不符题意，舍去），m2=3．
此时四边形ABCD是正方形
∴m=3，n=0．

（3）若四边形ABCD是矩形，
则OA=OB，即，
化简得：
∵m＞0，
∴m2+6n=9
又∵矩形的邻边之比为，
当AB：AD=时，∠ABO=60°，
过点A作AH⊥BD于H，则BH=，
∴，
∴，
解得：
当AD：AB=时，∠ABO=30°，
过点A作AH⊥BD于H，则BH=，
∴，
解得：．
答：存在，n=1或，n=-3使四边形ABCD是邻边之比为的矩形．