Question

如图，已知四边形ABCD、A₁B₁C₁D₁都是正方形，A₂、B₂、C₂、D₂分别是AA₁、BB₁、CC₁、DD₁的中点．
求证：四边形A₂B₂C₂D₂是正方形．（初二）

Answer

连接BC1和AB1分别找其中点F，E，连接C2F与A2E并延长相交于Q点，根据三角形的中位线定理可得A2E=FB2，EB2=FC2，然后证明得到∠B2FC2=∠A2EB2，然后利用边角边定理证明得到△B2FC2与△A2EB2全等，根据全等三角形对应边相等可得A2B2=B2C2，再根据角的关系推出得到∠A2B2 C2=90°，从而得到A2B2与B2C2垂直且相等，同理可得其它边也垂直且相等，所以四边形A2B2C2D2是正方形．
证明：如图，连接BC1和AB1分别找其中点F，E．连接C2F与A2E并延长相交于Q点，
连接EB2并延长交C2Q于H点，连接FB2并延长交A2Q于G点，
由A2E=A1B1=B1C1=FB2，EB2=AB=BC=FC2，
∵∠GFQ+∠Q=90°和∠GEB2+∠Q=90°，
∴所以∠GEB2=∠GFQ，
∴∠B2FC2=∠A2EB2，
可得△B2FC2≌△A2EB2，
所以A2B2=B2C2，
又∠HB2C2+∠HC2B2=90°和∠B2C2Q=∠EB2A2，
从而可得∠A2B2 C2=90°，
同理可得其它边垂直且相等，
从而得出四边形A2B2C2D2是正方形．