Question

如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE=CA，直线EC交DA延长线于F．
求证：AE=AF．（初二）

Answer

连接BD，作CH⊥DE于H，根据正方形的性质求出正方形DGCH，求出2CH=CE，求出∠CEH=30°，根据等腰三角形性质和三角形的外角性质求出∠AEC=∠CAE=15°，求出∠F的度数即可．
证明：连接BD，作CH⊥DE于H，
∵正方形ABCD，
∴∠DGC=90°，GC=DG，
∵AC∥DE，CH⊥DE，
∴∠DHC=∠GCH=∠DGC=90°，
∴四边形CGDH是正方形．
由AC=CE=2GC=2CH，
∴∠CEH=30°，
∴∠CAE=∠CEA=∠AED=15°，
又∵∠FAE=90°+45°+15°=150°，
∴∠F=180°-150°-15°=15°，
∴∠F=∠AEF，
∴AE=AF．