Question

设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．
求证：PA=PF．（初二）

Answer

根据已知作FG⊥CD，FE⊥BE，可以得出GFEC为正方形．再利用全等三角形的判定得出△ABP≌△PEF，进而求出PA=PF即可．
证明方法一：作FG⊥CD，FE⊥BE，可以得出GFEC为正方形．
令AB=Y，BP=X，CE=Z，可得PC=Y-X．
tan∠BAP=tan∠EPF==，可得YZ=XY-X2+XZ，
即Z（Y-X）=X（Y-X），即得X=Z，得出△ABP≌△PEF，
∴PA=PF．

方法二：在AB上截取AG=PC，连接PG
∵ABCD是正方形
∴AB=BC，∠B=∠DCB=∠APF=90°
∵AG=CP
∴BG=BP，
∴∠BGP=∠BPG=45°
∴∠AGP=180°-∠BGP=135°
∵CF平分∠DCE
∴∠FCE=45°
∴∠PCF=180°-∠FCE=135°
∴∠AGP=∠PCF
∵∠BAP+∠APB=90°
∠FPC+∠APB=90°
∴∠BAP=∠FPC，
在△AGP和△PCF中，
∴△AGP≌△PCF（ASA）
∴PA=PF．