Question

如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB=80°，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA=30°，∠EBA=20°，求∠BED的度数．

Answer

作∠BCF=60°，分别交AB、BE于点F、G，构造出等边三角形△BCG，可以求出∠DCF与∠FCE的度数，并利用角边角证明△ABE与△ACF全等，根据全等三角形对应边相等得到BE=CF，然后求出△FGE也是等边三角形，再根据等边三角形的角的度数证明EF∥BC，推出∠AFE=80°，根据平角等于180°推出∠DFG=40°，再根据角的度数可以得到BD=BC=BG，然后推出∠DGF=40°，根据等角对等边的性质可得DG=DF，从而利用边边边证明△DFE与△DGE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DEF=∠BED，即可得解．
【解析】
作∠BCF=60°，分别交AB、BE于点F、G，连接EF，DG，
∵∠ABC=80°，∠EBA=20°，
∴∠GBC=80°-20°=60°，
∴△BGC为等边三角形，
∵∠DCA=30°，∠ACB=80°，
∴∠DCF=∠BCF-（∠ACB-∠DCA）=60°-（80°-30°）=10°，∠FCE=∠DCA-∠DCF=30°-10°=20°，
∴∠EBA=∠FCE，
又∵∠ABC=∠ACB=80°，
∴AB=AC，
在△ABE与△ACF中，，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴BE=CF，
∵BG=CG=BC（等边三角形的三边相等）
∴FG=GE，
∴△FGE为等边三角形，
∴∠EFG=∠CBG=60°，
∴EF∥BC，
∴∠AFE=∠ABC=80°，
∴∠DFG=180°-80°-60°=40°①，
在△BCD中，∠BDC=180°-∠ABC-∠BCD=180°-80°-（80°-30°）=50°，
∴∠BCD=180°-50°-80°=50°，
∴∠BDC=∠BCD，
∴BC=BD，
∴BD=BC=BG，
在△BGD中，∠BGD=（180°-20°）=80°，
∴∠DGF=180°-∠BGD-∠EGF=180°-80°-60°=40°②，
∴∠DFG=∠DGF，
∴DF=DG，
在△DFE与△DGE中，，
∴△DFE≌△DGE（SSS），
∴∠FED=∠BED，
∵∠GEF=60°（等边三角形的每一个角都等于60°），
∴∠BED=∠GEF=30°．
故答案为：30°．